ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 655100 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$синус левая круглая скобка a x плюс 1 правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка a x минус a x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка = 2 a x в квадрате минус 4 a x минус 8$

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = синус t плюс 2t.$ Тогда уравнение примет вид

$f левая круглая скобка ax плюс 1 правая круглая скобка = f левая круглая скобка ax в квадрате минус ax минус 3 правая круглая скобка ,$

что в силу возрастания f (так как $f ' левая круглая скобка t правая круглая скобка = косинус t плюс 2 больше 0 правая круглая скобка$ равносильно уравнениям

$ax плюс 1 = ax в квадрате минус ax минус 3 равносильно a x в квадрате минус 2ax минус 4 = 0.$

При $a = 0$ полученное уравнение не имеет решений, а при $a не равно 0$ имеет решения, если $D_1 = a в квадрате плюс 4a больше или равно 0 ,$ откуда и следует ответ.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 4 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 456

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь