Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD, а плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABC, тангенс угла FAC равен 
тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC 
Точка L лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и С. Центр сферы Ω, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания пирамиды, радиус этой сферы равен 4.
а) Найдите объем пирамиды LAMC.
б) Найдите длину той части ребра LC, которая находится внутри сферы Ω.
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей основания ABCD, она же является центром сферы Ω. Следовательно,
Обозначим G — проекцию точки F на основание ABCD. Точка G лежит на диагонали AC, так как плоскости AFC и ABC перпендикулярны. Из точки B на диагональ AC опустим перпендикуляр BH, заметим, что BH перпендикулярен отрезку FG (как высоте пирамиды FABCD) и, следовательно, отрезок BH перпендикулярен плоскости AFC. Таким образом, CH — проекция BC на плоскость AFC, а потому 
при этом 
Находим:
Пусть точка P — проекция точки L на плоскость ABC, тогда она лежит на диагонали AC и равноудалена от точек M и C. Таким образом, треугольник PMC равнобедренный и подобен треугольнику OBC с коэффициентом 
значит,
Находим:
тогда
тогда
откуда получаем, что
б) Из точки A на ребро LC опустим перпендикуляр AK. Так как AC — диаметр сферы, то точка K (вершина прямого угла AKC) лежит на сфере. Следовательно, внутри сферы лежит отрезок CK. Таким образом, находим:
Ответ: б) 