PDF-версии: 
На ребре AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причем 
Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 18.
Решение. а) Пусть точка O — основание высоты пирамиды (точка пересечения диагоналей основания), а точка T — точка пересечение отрезка DQ и диагонали AC. Треугольники CDT и AQT подобны, значит,
Следовательно, отрезок PT — средняя линия треугольника SAO. Тогда прямая PT параллельна прямой SO, а значит, плоскость DPQ содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания пирамиды и перпендикулярна основанию пирамиды.
б) Пусть сторона основания пирамиды равна 3a, тогда: 
Из пункта а) следует, что 
и является высотой треугольника DPQ. Получаем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |