а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

На ребре AB пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD от­ме­че­на точка Q, при­чем Точка P  — се­ре­ди­на ребра AS.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPQ, если пло­щадь се­че­ния DSB равна 18.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В де­каб­ре пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на срок 6 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый июнь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом дан­но­го года;

—  с июля по де­кабрь 1-⁠го, 2-⁠го, 3-⁠го и 4-⁠го годов за­ем­щик вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, остав­ляя долг рав­ным пер­во­на­чаль­но­му;

—  с июля по де­кабрь 5-⁠го и 6-⁠го годов не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить оди­на­ко­вые суммы так, чтобы весь долг был по­га­шен пол­но­стью.

Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат за­ем­щи­ка будет не менее 14 млн руб.

Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции лежат на пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник с вер­ши­на­ми в се­ре­ди­нах диа­го­на­лей и в се­ре­ди­нах ос­но­ва­ний тра­пе­ции  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее мень­шее ос­но­ва­ние равно 7, а сто­ро­ны рас­смот­рен­но­го выше пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 2,5.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет ко­неч­ное число ре­ше­ний. Для каж­до­го та­ко­го a ука­жи­те все ре­ше­ния не­ра­вен­ства.

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из 134 фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста  — доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округлённая до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 17 по­се­ти­те­лей сайта, и рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста стал равен 41. Уви­дев это, Вася отдал свой голос за дру­го­го фут­бо­ли­ста. Чему те­перь равен рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста?

б)  Вася про­го­ло­со­вал за не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста. Могла ли после этого сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов умень­шить­ся не менее чем на 27?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов?