Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пред­ста­вим пра­вую часть не­ра­вен­ства в виде \lg_|x минус 2| |x минус 2| в квад­ра­те , тогда

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно \lg_|x минус 2| левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции (открыть), по­лу­чим:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно \lg_|x минус 2| левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те боль­ше 0, |x минус 2| боль­ше 0, |x минус 2| не равно 1, левая круг­лая скоб­ка |x минус 2| минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те минус x в квад­ра­те плюс 4x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 , конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, x не равно 2, x не равно 1, x не равно 3, левая круг­лая скоб­ка |x минус 2| минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11 минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 . конец си­сте­мы .

По свой­ству мо­ду­ля (открыть) раз­ность |x минус 2| минус 1 можно за­ме­нить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да на­хо­дим:

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, x не равно 1, x не равно 2, x не равно 3, левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11 минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше или равно x мень­ше 1, 3 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать не­сколь­ко иначе.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм |x минус 2| конец дроби боль­ше или равно 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 де­ся­тич­ный ло­га­рифм |x минус 2|, зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм |x минус 2| конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм |x минус 2| минус \lg1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: |x минус 2| минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0 , 4 плюс 7 x минус 2 x в квад­ра­те боль­ше 0, |x минус 2| боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: минус 3x в квад­ра­те плюс 11x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0 , левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, x не равно 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: минус x левая круг­лая скоб­ка 3x минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 , левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, x не равно 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше или равно x мень­ше 1, 3 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 457
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Мо­дуль числа, мо­дуль вы­ра­же­ния
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Мо­ду­ли, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Ло­га­риф­мы, Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025