РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 655322 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 457

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Модуль числа, модуль выражения

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Модули, Рационализация неравенств. Логарифмы, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2.$

Решение. Представим правую часть неравенства в виде $\lg_|x минус 2| |x минус 2| в квадрате ,$ тогда

Применим метод рационализации (открыть), получим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно \lg_|x минус 2| левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате больше 0, |x минус 2| больше 0, |x минус 2| не равно 1, левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате минус x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 , конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2, x не равно 1, x не равно 3, левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 11 минус 3x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 . конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно \lg_|x минус 2| левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате больше 0, |x минус 2| больше 0, |x минус 2| не равно 1, левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате минус x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 , конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2, x не равно 1, x не равно 3, левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 11 минус 3x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 . конец системы .$

По свойству модуля (открыть) разность $|x минус 2| минус 1$ можно заменить на $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка ,$ откуда находим:

$система выражений левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 1, x не равно 2, x не равно 3, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 11 минус 3x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше 1, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Это же решение можно записать несколько иначе.

Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм |x минус 2|, знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| минус \lg1 конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: |x минус 2| минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате больше 0, |x минус 2| больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус 3x в квадрате плюс 11x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: минус x левая круглая скобка 3x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше 1, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм |x минус 2|, знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| минус \lg1 конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: |x минус 2| минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате больше 0, |x минус 2| больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус 3x в квадрате плюс 11x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: минус x левая круглая скобка 3x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше 1, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм |x минус 2|, знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| минус \lg1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: |x минус 2| минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате больше 0, |x минус 2| больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: минус 3x в квадрате плюс 11x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус x левая круглая скобка 3x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше 1, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка |x минус 2| правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус 2 десятичный логарифм |x минус 2|, знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате правая круглая скобка минус десятичный логарифм левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм |x минус 2| минус \lg1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: |x минус 2| минус 1 конец дроби больше или равно 0 , 4 плюс 7 x минус 2 x в квадрате больше 0, |x минус 2| больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус 3x в квадрате плюс 11x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 1 конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус x левая круглая скобка 3x минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 , левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0, x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше 1, 3 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$ $левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

655322

$левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 457

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Модуль числа, модуль выражения

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Модули, Рационализация неравенств. Логарифмы, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	655322	$левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$