PDF-версии: 
Шестизначное число, в десятичной записи которого присутствуют по одному разу цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, будем называть хорошим.
а) Может ли хорошее число быть простым?
б) Может ли хорошее число иметь натуральных 63 делителя?
в) Может ли хорошее число делиться на 11?
г) Сколько хороших чисел делится на 12?
Решение. а) Сумма цифр этого числа равна 21, поэтому число кратно 3 и не может быть простым.
б) Если число имеет нечетное число делителей, то оно является квадратом (иначе все делители разбиваются на пары дающих в произведении исходное число). Но поскольку его сумма цифр 21, оно кратно 3 и не кратно 9, а потому квадратом быть тоже не может.
в) Рассмотрим суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах. По признаку делимости на 11 они должны быть либо равны (невозможно, их общая сумма нечетна), либо отличаться на кратное 11 (то есть в нашем случае на 11, поскольку отличаться на 22 и больше, давая вместе 21, они не могут). Если два числа в сумме дают 21 и отличаются на 11, то это 5 и 16. Однако в этом случае сумма даже минимальных трех цифр слишком велика: 
значит, получить такое число нельзя.
г) Для делимости на 12 необходимо и достаточно обеспечить делимость на 3 (она есть) и на 4. Делимость на 4 проверяется по последним двум цифрам — они должны образовывать число, кратное 4. Перечислим все такие числа: 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64, всего их восемь. К каждому из них нужно поставить вперед четырехзначное число, составленное из остальных четырех цифр, таких чисел 
Значит, ответ 
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) 192.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно выполнены все пункты | 4 |
| Верно выполнены три пункта из четырёх | 3 |
| Верно выполнены два пункта из четырёх | 2 |
| Верно выполнен один пункт из четырёх | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |