Ре­ше­ние. а)  Пусть P  — центр грани AA₁B₁B, Q  — центр грани BB₁C₁C. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую PQ, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ABC, по­это­му плос­кость α пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой, па­рал­лель­ной PQ, то есть па­рал­лель­ной AC.

Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E, а пря­мую BC  — в точке F. За­ме­тим, что если про­длить пря­мую CM до пе­ре­се­че­ния с AD, то по­лу­чим, что CN : 2AD  =  NO : OD  =  1 : 4. Кроме того, если пря­мые AC и ND пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, то NK : KD  =  NC : AD  =  1 : 2. Тогда

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, AE : EB  =  1 : 4.

б)  Рас­смот­рим тра­пе­цию EPQF: Пусть AB  =  x, тогда Имеем:

Тогда

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка EMNF равна

Тогда если φ  — ис­ко­мый угол, то

Ответ: б)