а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Пря­мые CM и DN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через цен­тры гра­ней ABB₁A₁ и BCC₁B₁ и точку O про­хо­дит плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AB куба в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от точки A.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2024 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 4 года на сумму 500 тысяч руб­лей.

Усло­вия воз­вра­та:

—  в ян­ва­ре 2025 г сумма долга уве­ли­чит­ся на 10%;

—  каж­дый по­сле­ду­ю­щий ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо опла­тить часть долга одним пла­те­жом;

—  пла­те­жи 2025, 2026, 2027 годов долж­ны быть рав­ны­ми;

—  в июле 2028 г долг дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

После по­га­ше­ния кре­ди­та сумма всех пла­те­жей со­став­ля­ет 676,8 тыс. руб. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит пла­теж в 2025 году?

Точка O  — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF. Через точку B и се­ре­ди­ну от­рез­ка OD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну ED в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BT делит пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии 5 : 13.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки BET и BCT с пря­мой BT, если сто­ро­на ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF равна

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Из четырёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа вы­чи­та­ют сумму всех его цифр, затем по­лу­чен­ное число делят на 3.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 3111?

б)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ций по­лу­чить­ся число 2075?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции из чисел от 5200 до 6000 вклю­чи­тель­но?