Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Через точку B и середину отрезка OD проведена прямая, пересекающая сторону ED в точке T.
а) Докажите, что прямая BT делит площадь шестиугольника в отношении 5 : 13.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники BET и BCT с прямой BT, если сторона шестиугольника ABCDEF равна 
а) Используем теорему Менелая для треугольника ODE. Тогда
откуда 
Площадь треугольника BOM равна
Пусть M — середина OD. Имеем:
Тогда
Таким образом, прямая BT делит площадь шестиугольника ABCDEF в отношении 5 : 13.
б) Пусть вписанная в треугольник BTE окружность касается прямой BT в точке R, а вписанная в треугольник BCT окружность касается прямой BT в точке Q. Тогда
и
откуда
Из пункта а) 
BE = 2BC. По теореме косинусов для треугольника CDT получим, что
следовательно, 
Тем самым
Ответ: 2.