Точки M и N — середины ребер AB и BC соответственно куба ABCDA1B1C1D1. Прямые CM и DN пересекаются в точке O. Через центры граней ABB1A1 и BCC1B1 и точку O проходит плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB куба в отношении 1 : 4, считая от точки A.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC.
а) Пусть P — центр грани AA1B1B, Q — центр грани BB1C1C. Плоскость α содержит прямую PQ, параллельную плоскости ABC, поэтому плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой, параллельной PQ, то есть параллельной AC.
Пусть плоскость α пересекает прямую AB в точке E, а прямую BC — в точке F. Заметим, что если продлить прямую CM до пересечения с AD, то получим, что CN : 2AD = NO : OD = 1 : 4. Кроме того, если прямые AC и ND пересекаются в точке K, то NK : KD = NC : AD = 1 : 2. Тогда
откуда 
Следовательно, AE : EB = 1 : 4.
б) Рассмотрим трапецию EPQF: 
Пусть AB = x, тогда 
Имеем:
Тогда
Площадь четырехугольника EMNF равна
Тогда если φ — искомый угол, то
Ответ: б) 