Из четырёхзначного натурального числа вычитают сумму всех его цифр, затем полученное число делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 3111?
б) Могло ли в результате такой операций получиться число 2075?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 5200 до 6000 включительно?
Пусть число записывалось цифрами a, b, c, d. Тогда оно было равно 
Из него получилось
а) Уравнение 
сводится к 
Взяв, например, 
и любое d (например, 0) получим 
б) Уравнение 
неразрешимо, поскольку 2075 не кратно трем.
в) Сразу заметим, что числа, отличающиеся лишь последней цифрой, дают одинаковый ответ. Кроме того, 
и других таких чисел нет, поскольку для остальных чисел 
а тогда
Теперь исследуем числа 
У всех у них 
и потому они дают ответы 
Докажем, что разные числа не могут дать одинаковый ответ. В самом деле, пусть 
тогда
Разность двух цифр может быть кратна 11 только если эти цифры равны, то есть 
а тогда и 
Итак, все эти числа (их 
дают разные ответы. Значит, всего ответов 81 (учитывая 1998).
Ответ: а) да; б) нет; в) 81.