ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 668211 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $8 синус в кубе x = p плюс 9 косинус 2x$ не имеет решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

$8 синус в кубе x = p плюс 9 косинус 2x равносильно p=8 синус в кубе x плюс 18 синус в квадрате x минус 9.$

Пусть $синус x=t.$ Заметим, что каждому значению t из промежутка $левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка$ найдётся хотя бы одно соответствующее значение x, а любому прочему t не соответствует ни одного значения x. Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =8t в кубе плюс 18t в квадрате минус 9,$ где $минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1,$ найдём множество ее значений при помощи производной:

$f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =24t в квадрате плюс 36t=12t левая круглая скобка 2t плюс 3 правая круглая скобка .$

Производная равна нулю только в точке $t=0$ ( $t= минус 1,5$ не входит в область определения функции f ). Вычислим значения функции в граничных точках области определения и в стационарной точке:

$f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 8 плюс 18 минус 9=1,$

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 9,$

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =8 плюс 18 минус 9=17.$

Множеством значений функции f(t) является промежуток $левая квадратная скобка минус 9; 17 правая квадратная скобка .$

Таким образом, уравнение $p=f левая круглая скобка t правая круглая скобка ,$ а значит, и исходное уравнение не имеют решений при $p меньше минус 9$ или $p больше 17.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 9 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 17; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 472

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Введение замены, Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь