РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 671675 Добавить в вариант

Источники:

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $косинус в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка x плюс синус в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка синус в квадрате x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 5 Пи ; 7 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Учтем нечетность синуса, применим формулу приведения, получим:

$синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = минус косинус x.$

Правая часть на ОДЗ логарифма равна 2. Получаем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x минус 2 = 0 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x = минус 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x = 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = минус 1, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x минус 2 = 0 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x = минус 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус x = 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = минус 1, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Условиям $синус x больше 0,$ $синус x не равно 1$ удовлетворяют только числа $x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k.$

б)  Длина отрезка $левая квадратная скобка 5 Пи ; 7 Пи правая квадратная скобка$ равна  2π. Расстояние между членами серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k$ также равно  2π, причем никакое из них не совпадает с концами отрезка. Следовательно, в отрезок попадает лишь одно число из найденной серии. Это число $6 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 413;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 480.

Ключ