РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Пусть n  — трехзначное число, m  — число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, причем m < n и n делится на m. Если число n делится на 10, но не делится на 100, то число m равно числу $дробь: числитель: n, знаменатель: 10 конец дроби ,$ записанному в обратном порядке. Если число n делится на 100, то число m равно числу $дробь: числитель: n, знаменатель: 100 конец дроби .$

а)  Может ли быть $дробь: числитель: n, знаменатель: m конец дроби =50?$

б)  Какая последняя цифра у числа n?

в)  Чему равно число n, если частное $дробь: числитель: n, знаменатель: m конец дроби$ нечетное?

Решение. Пусть число n записывается цифрами a, b, c, а число m  — цифрами c, b, a. По условию если с или b равны нулю, то все равно можно говорить, что число m записывается указанными цифрами, но его запись начинается с одного или двух нулей. Тогда $n = 100a плюс 10b плюс c,$ $m = 100c плюс 10b плюс a$ и $n больше m,$ откуда $99a больше 99c,$ $a больше c.$

а)  Если n  =  50m, то n кратно 10, поэтому c  =  0. Далее, $100a плюс 10b = 50 левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка ,$ откуда $5a = 49b,$ поэтому a кратно 49, что невозможно.

б)  Поскольку $0 \leqslant левая круглая скобка a минус k c правая круглая скобка меньше или равно k,$ то в соотношении $100 левая круглая скобка a минус k c правая круглая скобка =10 b левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс c левая круглая скобка 100 k минус 1 правая круглая скобка$ левая часть не превосходит $100 k,$ а правая часть не меньше, чем $c левая круглая скобка 100 k минус 1 правая круглая скобка .$ Если $c больше 0,$ то отсюда следует, что $c=1$ и $a минус k c=k,$ т. е. $a=2 k.$ Но тогда $100 k=10 b левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 100 k минус 1 правая круглая скобка ,$ поэтому $10 b левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка =1.$ Противоречие. Значит, $c=0.$

б)  Заметим, что $n минус m = 99 левая круглая скобка a минус c правая круглая скобка$ и $n минус m$ тоже кратны m. Значит, если m  — трехзначное число, то оно является делителем одного из чисел вида 99x, где $x меньше или равно 9.$ Выпишем все трехзначные делители этих чисел. В роли x можно брать 5, 6, 7, 8, 9 (остальные числа являются делителями этих и все равно будут найдены). Получаем:

—  555 делится на 555, 185, 111;

—  666 делится на 666, 333, 222, 111;

—  777 делится на 777, 259, 111;

—  888 делится на 888, 444, 296, 222, 148, 111;

—  999 делится на 999, 333, 111.

Кроме того первая цифра m должна быть меньше последней. Получаем варианты 185, 259, 296, 148. Нетрудно убедиться, что соответственно 581, 952, 692, 841 на эти числа не делятся. Итак, число m не трехзначное, а потому c  =  0.

в)  При c  =  0 получаем, что 100a + 10b кратно 10b + a, причем частное нечетно. Значит, $100a плюс 10b минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка = 99a$ также кратно $10b плюс a,$ причем частное четно. Заметим сразу, что при a  =  b получим $99a : левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка = 9,$ что нечетно. Значит, $a не равно b,$ поэтому $10a плюс b$ состоит из двух различных цифр и не кратно 11. Следовательно, даже число $99a : 11 = 9a$ будет кратно $10b плюс a$ и частное будет четным, так как сомножитель 11 не может повлиять ни на целость, ни на четность числа $дробь: числитель: 9a, знаменатель: 10b плюс a конец дроби .$ Следовательно, число 9a четно, а потому a также четно. Тогда $10b плюс a$ также четно и для четности $9a : левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка$ необходимо, чтобы a делилось на 4. Значит, a  =  4 или a  =  8.

Если a  =  4, то число $9a = 36 = 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате$ должно быть кратно одному из чисел, заканчивающихся на 4 и не кратных 4 (иначе частное будет нечетно). Это числа $14, 34, \ldots$ (остальные больше 36)  — ни одно из них не подходит.

Если a  =  8, то $72 = 2 в кубе умножить на 3 в квадрате$ должно быть кратно одному из чисел, заканчивающихся на 8 и не кратных 8, иначе частное будет нечетно. Это числа $18, 28, 38, 58, 68, \ldots$   — из них подходит только 18.

Итак, a  =  8, b  =  1, c  =  0, n  =  810.

Ответ: а)  нет, б)  0, в)  810.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	671695	а)  нет, б)  0, в)  810.

Ключ