Ре­ше­ние. а)  Пусть точка P  — точка на ребре C₁D₁ такая, что C₁P : PD₁  =  1 : 3. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да сле­ду­ет, что пря­мые MN и OP па­рал­лель­ны, а зна­чит, точка  P при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

Пусть пря­мые A₁P и B₁C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, пря­мые KO и C₁C  — в точке Q, а пря­мые KO и BB₁  — в точке R (см. рис.). Если плос­кость α со­став­ля­ет рав­ные углы с плос­ко­стя­ми ABC, BB₁C и DCC₁, то пло­ща­ди про­ек­ций A₁KR на эти плос­ко­сти равны. Сле­до­ва­тель­но,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KC₁P и KB₁A₁ по двум углам по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

Далее, из сим­мет­рии от­но­си­тель­но точки O, BR  =  C₁Q. Пусть C₁D₁  =  x, тогда:

от­ку­да и Итак, сле­до­ва­тель­но,

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

Тре­уголь­ни­ки PKQ и A₁KR по­доб­ны по двум углам с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия а тогда Зна­чит,

Ответ: б)