Тип Д10 C2 № 676261 
Сложная стереометрия. Круглые тела
i
В правильной треугольной пирамиде SABC радиус описанной сферы в три раза больше радиуса вписанной сферы.
а) Докажите, что SABC — правильный тетраэдр.
б) Плоскость, проходящая через сторону АВ и центр вписанной сферы, пересекает ребро SC в точке L. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду ABCL, если сторона основания пирамиды SABC равна 
Решение. 
а) Пусть радиус вписанной сферы равен r, радиус описанной — 3r. Обозначим их центры точками I и O соответственно. Оба этих центра лежат на высоте SH, то есть OS = 3r, IH = r, 
Положение центров сфер на высоте пока не определено однозначно, поэтому значение x может быть отрицательным. Пусть также точка M — середина AB. По теореме Пифагора
откуда
По свойству биссектрисы 
то есть
Случай x = –4r невозможен, иначе SH = 0. Следовательно, x = 0, то есть точки I и O совпадают, а потому тетраэдр является правильным.
б) Отрезок ML — биссектриса в треугольнике SMC, но SM = MC, поскольку тетраэдр SABC — правильный, поэтому SL = LC. Тогда объем пирамиды ABLC вдвое меньше объема тетраэдра SABC. Пусть AB = a, тогда
Теперь можно выразить площади:
где SABLC — площадь полной поверхности пирамиды ABLC. Ее объем равен
Тогда 
где r — искомый радиус. Наконец,
Однако 
значит, 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 676261
б) 
PDF-версии: 
