а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ра­ди­ус опи­сан­ной сферы в три раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной сферы.

а)  До­ка­жи­те, что SABC  — пра­виль­ный тет­ра­эдр.

б)  Плос­кость, про­хо­дя­щая через сто­ро­ну АВ и центр впи­сан­ной сферы, пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке L. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду ABCL, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABC равна 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Биз­не­смен про­да­ет ложки по цене 1000 руб. за штуку. Для уве­ли­че­ния про­даж он за­пла­ни­ро­вал ре­клам­ную кам­па­нию, на ко­то­рую вы­де­лил 100 тыс. руб. (эти день­ги не­об­хо­ди­мо по­тра­тить пол­но­стью). Ре­клам­ное объ­яв­ле­ние в со­ци­аль­ной сети сто­и­мо­стью 20 тыс. руб. уве­ли­чи­ва­ет про­да­жи ложек на 10 штук, а ре­клам­ное объ­яв­ле­ние в мес­сен­дже­ре сто­и­мо­стью 40 тыс. руб. уве­ли­чи­ва­ет про­да­жи на 30%. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ложек надо про­дать, чтобы оку­пить ре­клам­ную кам­па­нию?

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки АВС и ACD, делят диа­го­наль АС в от­но­ше­нии 2 : 1 : 1, счи­тая от точки А.

а)  До­ка­жи­те, что одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно бо­ко­вой сто­ро­не.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром диа­го­наль АС делит пло­щадь тра­пе­ции.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

Лес­ная шах­мат­ная школа про­ве­ла шах­мат­ный тур­нир. В нём при­ни­ма­ли уча­стие Волк, Лиса и Заяц. Каж­дый из них сыг­рал с каж­дым участ­ни­ком по 10 пар­тий. За вы­иг­ран­ную пар­тию при­суж­да­лось 2 очка, за ничью 1 очко, за про­иг­рыш 0 очков. После окон­ча­ния тур­ни­ра места рас­пре­де­ля­лись по сумме очков, на­бран­ных участ­ни­ка­ми.

а)  Сколь­ко очков на­брал Волк, если у него число вы­иг­ран­ных в тур­ни­ре пар­тий рав­ня­лось числу про­иг­ран­ных?

б)  У Лисы ко­ли­че­ство вы­иг­ран­ных пар­тий боль­ше чем у Волка, а у Волка боль­ше чем у Зайца. Может ли Заяц за­нять пер­вое место, Волк  — вто­рое, а Лиса  — тре­тье?

в)  Лиса за­ня­ла в тур­ни­ре вто­рое место, хотя при игре с каж­дым из со­пер­ни­ков по­беж­да­ла чаще, чем про­иг­ры­ва­ла. Тогда она по­тре­бо­ва­ла из­ме­нить по­ря­док под­ве­де­ния ито­гов: рас­пре­де­лять места по раз­но­сти ко­ли­че­ства вы­иг­ран­ных и про­иг­ран­ных пар­тий. Смо­жет ли она после этого за­нять пер­вое место?

г)  Может ли быть по ито­гам тур­ни­ра у каж­до­го участ­ни­ка ко­ли­че­ство вы­иг­ран­ных пар­тий боль­ше, чем ко­ли­че­ство про­иг­ран­ных?