а)  Пусть ра­ди­ус впи­сан­ной сферы равен r, ра­ди­ус опи­сан­ной  — 3r. Обо­зна­чим их цен­тры точ­ка­ми I и O со­от­вет­ствен­но. Оба этих цен­тра лежат на вы­со­те SH, то есть OS  =  3r, IH  =  r, По­ло­же­ние цен­тров сфер на вы­со­те пока не опре­де­ле­но од­но­знач­но, по­это­му зна­че­ние x может быть от­ри­ца­тель­ным. Пусть также точка M  — се­ре­ди­на AB. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

от­ку­да

По свой­ству бис­сек­три­сы то есть

Слу­чай x  =  –4r не­воз­мо­жен, иначе SH  =  0. Сле­до­ва­тель­но, x  =  0, то есть точки I и O сов­па­да­ют, а по­то­му тет­ра­эдр яв­ля­ет­ся пра­виль­ным.

б)  От­ре­зок ML  — бис­сек­три­са в тре­уголь­ни­ке SMC, но SM  =  MC, по­сколь­ку тет­ра­эдр SABC  — пра­виль­ный, по­это­му SL  =  LC. Тогда объем пи­ра­ми­ды ABLC вдвое мень­ше объ­е­ма тет­ра­эд­ра SABC. Пусть AB  =  a, тогда

Те­перь можно вы­ра­зить пло­ща­ди:

где S_ABLC  — пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды ABLC. Ее объем равен

Тогда где r  — ис­ко­мый ра­ди­ус. На­ко­нец,

Од­на­ко зна­чит,

Ответ: б)