Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 676265
i

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD левая круг­лая скоб­ка BC мень­ше AD пра­вая круг­лая скоб­ка окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки АВС и ACD, делят диа­го­наль АС в от­но­ше­нии 2 : 1 : 1, счи­тая от точки А.

а)  До­ка­жи­те, что одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно бо­ко­вой сто­ро­не.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром диа­го­наль АС делит пло­щадь тра­пе­ции.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AB, BC и AC бук­ва­ми P, Q и M со­от­вет­ствен­но. По усло­вию AM  =  MC, кроме того, AM  =  AP, MC  =  CQ, BQ  =  BP как от­рез­ки ка­са­тель­ных, а тогда

AB = AP плюс PB = BQ плюс QC = BC.

б)  Обо­зна­чим точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AC, CD и AD бук­ва­ми N, K и L со­от­вет­ствен­но. Пусть BP = BQ = y, AM = AP = 2x. Тогда

MN = NC = CK = x,

CD = AB = 2x плюс y,

KD = DL = x плюс y,

AD = AL плюс LD = 3x плюс x плюс y = 4x плюс y.

Про­ве­дем вы­со­ту тра­пе­ции CH, тогда CH в квад­ра­те = AC в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те = CD в квад­ра­те минус HD в квад­ра­те . За­ме­тим, что

HD = дробь: чис­ли­тель: AD минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4x плюс y минус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = x,

от­ку­да

левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус x в квад­ра­те рав­но­силь­но 7x в квад­ра­те минус 6xy минус y в квад­ра­те = 3x в квад­ра­те плюс 4xy плюс y в квад­ра­те рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 5xy минус y в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 5 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби минус 1 = 0 \underset дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

На­ко­нец,

дробь: чис­ли­тель: S_ABC, зна­ме­на­тель: S_ACD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x плюс y, зна­ме­на­тель: 4x плюс y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на \tfracx, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс 14 умно­жить на \tfracxy плюс 1 = дробь: чис­ли­тель: \dfrac5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 15 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та плюс 1 = дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 33 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 496
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025