РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 677447 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 498

Классификатор алгебры: Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Логарифмирование уравнений и неравенств

Неравенства. Показательные неравенства

Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно x в квадрате плюс x плюс 1.$

Решение. Для положительных а выражения $a в степени b минус a в степени c$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка$ имеют один знак, а потому

$левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в степени 1 равносильно система выражений x в квадрате плюс x плюс 1 больше 0, левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше или равно минус 1, x больше или равно 0. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Заметим, что при любом значении x

$x в квадрате плюс x плюс 1= левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби больше 0. левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Значит, обе части неравенства положительны. Логарифмируем обе части неравенства по основанию 10:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно x в квадрате плюс x плюс 1 равносильно десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби умножить на \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка минус \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка минус \lg1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0 \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше или равно минус 1, x больше или равно 0. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

677447

$левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 498

Классификатор алгебры: Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Логарифмирование уравнений и неравенств

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	677447	$левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$