а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра DD₁ и AA₁ в точ­ках М и K со­от­вет­ствен­но так, что DM : MD₁  =  4 : 1, AK : KA₁  =  2 : 3, а ребро АВ  — в се­ре­ди­не L.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку С.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти α, если сто­ро­на ромба равна тан­генс остро­го угла ромба равен а вы­со­та приз­мы равна 10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ин­ве­стор купил акции не­ко­то­рой ком­па­нии по цене 1 тыс. долл. за 1 шт. Ры­ноч­ная цена этих акций еже­год­но уве­ли­чи­ва­ет­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну S тысяч дол­ла­ров за 1 шт. Но за счёт ин­фля­ции, ко­то­рая со­став­ля­ет 4% в год, ре­аль­ная сто­и­мость акций (то есть по­ку­па­тель­ская спо­соб­ность денег, ко­то­рые можно по­лу­чить, про­дав акции) в конце n-го года со­став­ля­ет 0,96ⁿ от их ры­ноч­ной цены. Ин­ве­стор хочет про­дать свои акции в тот мо­мент, когда они будут об­ла­дать наи­боль­шей ре­аль­ной сто­и­мо­стью. В ре­зуль­та­те расчётов он вы­чис­лил, что для этого не­об­хо­ди­мо про­дать акции в конце седь­мо­го года. Опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях S это воз­мож­но.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках М и N. На одной из окруж­но­стей от­ме­че­ны точки А и С, а на вто­рой  — В и D так, что ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны 2 и 6, а рас­сто­я­ние от их точки пе­ре­се­че­ния до пря­мой MN равно 2.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 5 и 4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно три раз­лич­ных корня.

У трех­знач­но­го числа все цифры от­лич­ны от нуля. Обо­зна­чим через s сумму цифр и через m про­из­ве­де­ние цифр.

а)  Может ли быть, что

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет чисел, у ко­то­рых m < s?

в)  Какие целые зна­че­ния имеет дробь если среди цифр числа n есть 1?