ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 677451 Добавить в вариант

У трехзначного числа $n = 100a плюс 10b плюс c$ все цифры отличны от нуля. Обозначим через s сумму цифр и через m произведение цифр.

а)  Может ли быть, что $s = 10m?$

б)  Сколько существует чисел, у которых m < s?

в)  Какие целые значения имеет дробь $k = дробь: числитель: m, знаменатель: s конец дроби ,$ если среди цифр числа n есть 1?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $s = a плюс b плюс c$ и $m = abc.$

а)  Ясно что $s меньше или равно 9 плюс 9 плюс 9 = 27,$ поэтому если $s = 10m,$ то $m меньше или равно 2,$ то есть на роль наборов цифр могут подходить только (1, 1, 1) и (1, 1, 2). Но они не подходят.

б)  Пусть $a больше или равно b больше или равно c.$ Ясно, что можно менять цифры местами, m и s от этого не меняются. Если $c больше 1,$ то

$m = abc больше или равно a умножить на 2 умножить на 2 = 4a больше a плюс a плюс a больше или равно a плюс b плюс c,$

поэтому $c = 1.$ Значит, $a плюс b плюс 1 больше ab,$ откуда

$ab минус a минус b плюс 1 меньше 2 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка меньше 2.$

Значит, либо $a минус 1 = b минус 1 = 1,$ либо $b минус 1 = 0.$ Таким образом, подходят наборы цифр $левая круглая скобка 1, 1, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2, 1, 1 правая круглая скобка , \ldots левая круглая скобка 9, 1, 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2, 2, 1 правая круглая скобка .$ Каждый из них, кроме первого, дает по три числа, а первый только одно. Значит, этих чисел $1 плюс 9 умножить на 3 = 28.$

в)  Будем опять же считать, что $c = 1,$ тогда $дробь: числитель: ab, знаменатель: a плюс b плюс 1 конец дроби = k$ должно быть целым. То есть

$ab = ka плюс kb плюс k равносильно ab минус ka минус kb плюс k в квадрате = k в квадрате плюс k равносильно левая круглая скобка a минус k правая круглая скобка левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка = k в квадрате плюс k.$

Ясно, что $k в квадрате плюс k больше 0,$ а если оба множителя $a минус k$ и $b минус k$ отрицательны, то $левая круглая скобка a минус k правая круглая скобка левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка = левая круглая скобка k минус a правая круглая скобка левая круглая скобка k минус b правая круглая скобка меньше k умножить на k меньше k в квадрате плюс k,$ то есть такой случай невозможен. Значит, $a минус k$ и $b минус k$ положительны. Кроме того, одно из них не меньше $k плюс 1,$ поскольку иначе $левая круглая скобка a минус k правая круглая скобка левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка меньше или равно k умножить на k = k в квадрате меньше k в квадрате плюс k.$ Если $a минус k больше или равно k плюс 1,$ то $9 больше или равно a больше или равно 2k плюс 1,$ откуда $k меньше или равно 4.$ Итак, $k = 1, 2, 3, 4.$ Все эти варианты возможны при $a = 2k плюс 1,$ $b = 2k,$ то есть для чисел 981, 761, 541, 321.

Ответ: а)  нет; б)  28; в) $k = 1, 2, 3, 4.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 498

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь