ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 677450 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $x минус 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби = ax$ имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде

$a= дробь: числитель: 1, знаменатель: x в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби плюс 1.$

Пусть $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ тогда каждому значению t, отличному от нуля, соответствует ровно одно значение x. Значит, требуется найти значения параметра a, при каждом из которых уравнение $a=t в кубе минус 3t плюс 1$ имеет три различных отличных от нуля корня. Функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = t в кубе минус 3t плюс 1$ непрерывна,

$\lim\limits_t \to минус бесконечность f левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус бесконечность ,$

$\lim\limits_t \to плюс бесконечность f левая круглая скобка t правая круглая скобка = плюс бесконечность .$

Найдем производную:

$f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =3t в квадрате минус 3 =3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка .$

Производная равна нулю при $t= минус 1$ и $t=1.$ Изобразим на рисунке знаки производной и поведение функции, найдем экстремумы функции:

$f_max = f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус 3 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 1=3,$

$f_min = f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 в кубе минус 3 умножить на 1 плюс 1= минус 1.$

В силу непрерывности функции f уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = a$ имеет три различных корня при $минус 1 меньше a меньше 3.$ Поскольку $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 в кубе минус 3 умножить на 0 плюс 1=1,$ при $a=1$ один из корней равен нулю. Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при $минус 1 меньше a меньше 1$ и при $1 меньше a меньше 3.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 498

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь