РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 687524 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 509

Планиметрическая задача. Четырехугольники и их свойства

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BCD  — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE  =  DF.

а)  Докажите, что точки A, F, С и D лежат на одной окружности.

б)  Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD  =  10 и $косинус \angle ADC = 0,6.$

Решение. а)  Четырехугольник BCDE  — параллелограмм, поэтому $CD = BE = AB,$ $BC = ED = DF.$ В треугольниках ABE и EDF углы при основании равны, а потому $\angle ABE = \angle EDF.$ Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Кроме того,

$\angle FDC = \angle FDE плюс \angle EDC = \angle ABE плюс \angle EBC = \angle ABC,$

то есть треугольники ABC и CDF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $\angle BCA = \angle CFD,$ тогда $\angle CAD = \angle CFD.$ Следовательно, точки A, F, С и D лежат на одной окружности.

б)  Из доказанного в пункте а) следует, что $\angle ADC = \angle AFC$ и $AC = FC.$ В равнобедренной трапеции диагонали равны, то есть $AC = BD.$ Тогда искомое расстояние равно

$FC умножить на косинус \angle AFC = BD умножить на косинус \angle ADC = 10 умножить на 0,6 = 6.$

Ответ: б)  6.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  6.

687524

б)  6.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 509

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	687524	б)  6.