а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пи­ра­ми­де ABCD ребра DA, DB и DC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, так что АВ  =  ВС  =  АС  =  1. На реб­рах DA и DC от­ме­че­ны точки М и N со­от­вет­ствен­но, при­чем DM : MA  =  DN : NC  =  2 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­да АВСD пра­виль­ная.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти MNB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Боря по­ло­жил не­ко­то­рую сумму в банк на 4 года под 10% го­до­вых. Од­но­вре­мен­но с ним Рома такую же сумму по­ло­жил на два года в дру­гой банк под 15% го­до­вых. Через два года Рома решил про­длить срок вкла­да еще на два года. Од­на­ко к тому вре­ме­ни про­цент­ная став­ка по вкла­дам в этом банке из­ме­ни­лась и со­став­ля­ла уже x% го­до­вых. В итоге через 4 года на счету у Ромы ока­за­лась боль­шая сумма, чем у Бори, при­чем эта раз­ность со­ста­ви­ла менее 10% от суммы, вло­жен­ной каж­дым пер­во­на­чаль­но.

Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние про­цент­ной став­ки x.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD угол BCD  — тупой. Через точку B про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой CD и пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую AD в точке E. На про­дол­же­нии BE за точку E от­ме­че­на точка F такая, что DE  =  DF.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, F, С и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой AF, если BD  =  10 и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­ны три раз­лич­ных од­но­знач­ных на­ту­раль­ных числа. К каж­до­му из них при­пи­са­ли слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел уве­ли­чи­лась в n раз.

а)  Может ли n быть равно 15?

б)  Может ли n быть равно 50?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное на­ту­раль­ное зна­че­ние n.