а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме MNPQM₁N₁P₁Q₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 11, а бо­ко­вое ребро  — 15. На реб­рах M₁Q₁, M₁N₁ и PQ взяты точки X, Y, Z со­от­вет­ствен­но так, что

а)  Пусть C  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти XYZ c реб­ром PN. До­ка­жи­те, что XYCZ  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью XYZ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В банк по­ме­щен вклад 64 000 руб­лей под 25% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых трех лет после на­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но клал на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу чет­вер­то­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что вклад со­став­ля­ет 385 000 руб­лей. Какую сумму в руб­лях еже­год­но до­бав­лял вклад­чик?

На про­дол­же­нии сто­ро­ны AC за вер­ши­ну A тре­уголь­ни­ка ABC от­ло­жен от­ре­зок AD, рав­ный сто­ро­не AB. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A па­рал­лель­но BD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AM  — бис­сек­три­са угла BAC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMBD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 144 и из­вест­но от­но­ше­ние AC : AB  =  3 : 1.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (числа могут по­вто­рять­ся), каж­дое из ко­то­рых либо зе­ле­но­го, либо крас­но­го цвета. Каж­дое зе­ле­ное число крат­но 3, а каж­дое крас­ное число крат­но 7. При этом все зе­ле­ные числа раз­лич­ны и все крас­ные раз­лич­ны; какое‐⁠то зе­ле­ное может рав­нять­ся ка­ко­му‐⁠то крас­но­му числу.

а)  Может ли сумма на­пи­сан­ных чисел быть мень­ше если все числа на доске крат­ны 3?

б)  Может ли ровно одно число на доске быть крас­ным, если сумма на­пи­сан­ных чисел равна 1067?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел может быть на доске, если сумма на­пи­сан­ных чисел равна 1067?