ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 687528 Добавить в вариант

На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в n раз.

а)  Может ли n быть равно 15?

б)  Может ли n быть равно 50?

в)  Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

Спрятать решение

Решение.

Пусть цифры были равны x, y, z, а приписанная цифра равна t. Тогда получились числа $10t плюс x,$ $10t плюс y,$ $10t плюс z.$ Их сумма равна $x плюс y плюс z плюс 30t.$

а)  Уравнение

$x плюс y плюс z плюс 30t = 15 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка$

дает

$15t = 7 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка ,$

поэтому можно взять $t = 7$ и, например, $x = 4,$ $y=5,$ $z=6.$ Тогда

$74 плюс 75 плюс 76 = 225 = 15 умножить на 15 = 15 левая круглая скобка 4 плюс 5 плюс 6 правая круглая скобка .$

б)  Уравнение

$x плюс y плюс z плюс 30t = 50 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка$

дает

$30t = 49 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка ,$

поэтому t делится на 49. Но таких ненулевых цифр нет, а нули все равно нельзя приписывать в начало.

в)  Уравнение

$x плюс y плюс z плюс 30t = n левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка$

дает

$30t = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка ,$

имеем:

$n = дробь: числитель: 30t, знаменатель: x плюс y плюс z конец дроби плюс 1 меньше или равно дробь: числитель: 30 умножить на 9, знаменатель: 1 плюс 2 плюс 3 конец дроби плюс 1 = 46.$

Это значение достигается при $x = 1,$ $y = 2,$ $z = 3,$ $t = 9.$ Тогда

$91 плюс 92 плюс 93 = 276 = 46 умножить на 6 = 46 левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 3 правая круглая скобка .$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  46.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 509

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь