PDF-версии: 
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 боковое ребро в два раза больше стороны основания. Плоскость α проходит через центр основания ABCDEF перпендикулярно прямой BE1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AA1 в отношении 1 : 3, считая от точки A.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABB1.
Решение. а) Пусть
Пусть точка K — середина ребра AF, точка P — середина ребра CD, точки O и O1 — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Введем систему координат с началом в точке O, оси направим так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Плоскость α проходит через начало координат, поэтому ее уравнение имеет вид 
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарны, откуда находим уравнение плоскости α:
Прямая AA1 задается уравнениями 
Точка L пересечения этой прямой с плоскостью α имеет 
б) В этой системе координат:
Уравнение плоскости ABB1 имеет вид 
Подставим известные координаты и решим систему:
Нормаль к этой плоскости есть вектор 
Плоскость α задается уравнением 
ее нормаль — вектор 
Для искомого угла φ получаем:
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |