В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 боковое ребро в два раза больше стороны основания. Плоскость α проходит через центр основания ABCDEF перпендикулярно прямой BE1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AA1 в отношении 1 : 3, считая от точки A.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABB1.
а) Пусть 
Пусть точка K — середина ребра AF, точка P — середина ребра CD, точки O и O1 — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Введем систему координат с началом в точке O, оси направим так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Плоскость α проходит через начало координат, поэтому ее уравнение имеет вид 
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарны, откуда находим уравнение плоскости α:
Прямая AA1 задается уравнениями 
Точка L пересечения этой прямой с плоскостью α имеет 
б) В этой системе координат:
Уравнение плоскости ABB1 имеет вид 
Подставим известные координаты и решим систему:
Нормаль к этой плоскости есть вектор 
Плоскость α задается уравнением 
ее нормаль — вектор 
Для искомого угла φ получаем:
откуда 
Ответ: 