а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ бо­ко­вое ребро в два раза боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния. Плос­кость α про­хо­дит через центр ос­но­ва­ния ABCDEF пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BE₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AA₁ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от точки A.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года Ари­старх пла­ни­ру­ет взять кре­дит на во­семь лет в раз­ме­ре 58 мил­ли­о­нов руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг будет воз­рас­тать на 5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь 2031, 2032, 2033 и 2034 годов долг будет воз­рас­тать на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2031, 2032, 2033 и 2034 годов долг дол­жен быть на 7,5 мил­ли­о­нов мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2034 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Из­вест­но, что сумма вы­плат на пер­вые че­ты­ре года равна сумме вы­плат за по­след­ние че­ты­ре года. Най­ди­те общую сумму вы­плат за весь срок кре­ди­та.

В квад­ра­те ABCD по­стро­е­на окруж­ность с цен­тром в точке А, ра­ди­у­сом, рав­ным сто­ро­не квад­ра­та, и окруж­ность с цен­тром в точке С, ра­ди­у­сом, рав­ным по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та. Окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках М и N.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN делит сто­ро­ну ВС в от­но­ше­нии 3 : 5, счи­тая от точки В.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AMCN, если пло­щадь квад­ра­та равна 8.

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных корня.

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Из­вест­но, что для любых двух раз­лич­ных чисел a и b из этого на­бо­ра их сумма a + b де­лит­ся на мо­дуль их раз­но­сти |a – b|. Пусть S  — сумма всех на­пи­сан­ных на доске чисел.

а)  Может ли на доске быть ровно 3 числа?

б)  Может ли на доске быть ровно 100 чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, если на доске на­пи­са­но 4 числа.