РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б)  Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в)  Найдите наименьшую число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

а)  Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б)  Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а)  Например, числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2014.

б)  Предположим, что число 199 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из a сотен, b десятков и c единиц. Тогда другое число состоит из $1 минус a$ сотен, $9 минус b$ десятков и $9 минус c$ единиц. Суммы цифр этих чисел равны $a плюс b плюс c$ и $19 минус a минус b минус c$ соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в)  Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме пяти наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

$1 плюс 10 плюс 100 плюс 1000 плюс 10 000 = 11 111,$

$2 плюс 11 плюс 20 плюс 101 плюс 110 = 244,$

$3 плюс 12 плюс 21 плюс 30 плюс 102 = 168,$

$4 плюс 13 плюс 22 плюс 31 плюс 40 = 110.$

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел  — как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

$a плюс левая круглая скобка a плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 18 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 27 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 36 правая круглая скобка = 5a плюс 90 больше или равно 115.$

Получаем, что искомое число равно 110.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  110.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697378	а)  да; б)  нет; в)  231.

Ключ