В тре­уголь­ни­ке ABC AD  — бис­сек­три­са, угол C равен 41°, угол BAD равен 69°. Най­ди­те угол ADB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Най­ди­те объем ко­ну­са, если объем ци­лин­дра равен 114.

Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

В ко­роб­ке 10 синих, 9 крас­ных и 6 зелёных фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­стер?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик y  =  f '(x)  — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−17; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x), при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [−15; 0].

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му где P  — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в ват­тах),   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T  — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти не-ко­то­рой звез­ды равна м², а мощ­ность её из­лу­че­ния равна Вт. Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в кель­ви­нах.

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 5% ни­ке­ля, вто­рой  — 20% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 225 кг, со­дер­жа­щий 15% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва была мень­ше массы вто­ро­го?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции где числа a, b и c  — целые. Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Плос­кость α про­хо­дит через точки B, K и D.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние куба плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти α, если ребро куба равно 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 250 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за два года, причём в пер­вый год будет вы­пла­че­но 150 000 руб­лей, а вто­рой год  —  180 000 руб­лей.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом их ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно одно ре­ше­ние.

а)  Можно ли пред­ста­вить число 2043 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

б)  Можно ли пред­ста­вить число 599 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

в)  Най­ди­те наи­мень­шую число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы семи раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва.