а)  Можно ли пред­ста­вить число 2032 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

б)  Можно ли пред­ста­вить число 799 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва.

а)  Можно ли пред­ста­вить число 2043 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

б)  Можно ли пред­ста­вить число 599 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы семи раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва.

а)  Можно ли пред­ста­вить число 2032 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

б)  Можно ли пред­ста­вить число 799 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва.

а)  Можно ли пред­ста­вить число 2014 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

б)  Можно ли пред­ста­вить число 199 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы шести раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва.

Во­семь раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а)  Может ли сумма всех вось­ми чисел быть равна 65?

б)  Может ли сумма всех вось­ми чисел быть равна 62?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех вось­ми чисел?

Семь раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а)  Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?

б)  Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех семи чисел?

На столе лежит стоп­ка из крас­ных и синих карт, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­но целое число, боль­шее –⁠32. При этом числа на кар­тах од­но­го цвета раз­лич­ны. Числа на всех синих кар­тах де­лят­ся на 5, а на всех крас­ных  — на 8. Из­вест­но, что самое боль­шое число на крас­ной карте равно утро­ен­но­му ко­ли­че­ству синих карт, а самое боль­шое число на синей карте равно ко­ли­че­ству крас­ных карт.

а)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 1?

б)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 40?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих карт может быть на столе?

На столе лежит стоп­ка из крас­ных и синих карт, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­но целое число, боль­шее –⁠30. При этом числа на кар­тах од­но­го цвета раз­лич­ны. Числа на всех синих кар­тах де­лят­ся на 5, а на всех крас­ных  — на 3. Из­вест­но, что самое боль­шое число на крас­ной карте равно утро­ен­но­му ко­ли­че­ству синих карт, а самое боль­шое число на синей карте равно ко­ли­че­ству крас­ных карт.

а)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 1?

б)  Может ли ко­ли­че­ство синих карт быть рав­ным 40?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих карт может быть на столе?

На столе лежит стоп­ка из крас­ных и синих карт, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­но целое число, боль­шее –⁠80. При этом числа на кар­тах од­но­го цвета раз­лич­ны. Числа на всех синих кар­тах де­лят­ся на 5, а на всех крас­ных  — чётные числа. Из­вест­но, что самое боль­шое число на крас­ной карте равно удво­ен­но­му ко­ли­че­ству синих карт, а самое боль­шое число на синей карте равно ко­ли­че­ству крас­ных карт.

а)  Может ли ко­ли­че­ство крас­ных карт быть рав­ным 5?

б)  Может ли ко­ли­че­ство крас­ных карт быть рав­ным 200?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство крас­ных карт может быть на столе?

На столе лежит N монет по 2 рубля и (1000 –⁠ N) монет по 5 руб­лей (N  — на­ту­раль­ное число от 1 до 999). Ока­за­лось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, на­бран­ная этими мо­не­та­ми, будет не мень­ше чет­вер­ти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N рав­нять­ся 100?

б)  Может ли N рав­нять­ся 500?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных зна­че­ний может при­ни­мать число N?

На столе лежит N монет по 2 рубля и (800 –⁠ N) монет по 5 руб­лей (N  — на­ту­раль­ное число от 1 до 799). Ока­за­лось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, на­бран­ная этими мо­не­та­ми, будет не мень­ше чет­вер­ти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N рав­нять­ся 200?

б)  Может ли N рав­нять­ся 400?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных зна­че­ний может при­ни­мать число N?

На столе лежит N монет по 2 рубля и (1200 –⁠ N) монет по 5 руб­лей (N  — на­ту­раль­ное число от 1 до 1199). Ока­за­лось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, на­бран­ная этими мо­не­та­ми, будет не мень­ше чет­вер­ти от общей суммы денег на столе.

а)  Может ли N рав­нять­ся 400?

б)  Может ли N рав­нять­ся 600?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных зна­че­ний может при­ни­мать число N?

На доске на­пи­са­но не­ко­то­рое ко­ли­че­ство дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых могут быть оди­на­ко­вые. С каж­дым из этих чисел про­де­лы­ва­ют одну из двух опе­ра­ций: либо уве­ли­чи­ва­ют цифру в раз­ря­де де­сят­ков на 2 и умень­ша­ют цифру в раз­ря­де еди­ниц на 5, либо умень­ша­ют цифру в раз­ря­де де­сят­ков на 2 и уве­ли­чи­ва­ют цифру в раз­ря­де еди­ниц на 2. Все числа, по­лу­чив­ши­е­ся в ре­зуль­та­те, ока­за­лись дву­знач­ны­ми на­ту­раль­ны­ми.

а)  Может ли сумма ис­ход­ных чисел ока­зать­ся на 128 мень­ше суммы по­лу­чив­ших­ся чисел?

б)  Может ли ко­ли­че­ство чисел на доске рав­нять­ся 25, если сумма ис­ход­ных чисел равна сумме по­лу­чив­ших­ся чисел?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске, если сумма ис­ход­ных чисел равна сумме по­лу­чив­ших­ся чисел и мень­ше 1198?

Дана ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не мень­ше 80 и не боль­ше 170. Каж­дое сле­ду­ю­щее число либо де­лит­ся на преды­ду­щее, либо мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Числа в по­сле­до­ва­тель­но­сти могут по­вто­рять­ся.

а)  Может ли быть 40 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Может ли быть 80 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Дана ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не мень­ше 60 и не боль­ше 130. Каж­дое сле­ду­ю­щее число либо де­лит­ся на преды­ду­щее, либо мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Числа в по­сле­до­ва­тель­но­сти могут по­вто­рять­ся.

а)  Может ли быть 35 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Может ли быть 60 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел по­сле­до­ва­тель­но­сти.

На доске за­пи­са­но не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число N. Учи­тель по оче­ре­ди вы­зы­ва­ет уче­ни­ков, ко­то­рые вы­пол­ня­ют с любым из уже за­пи­сан­ных на доске чисел одно из сле­ду­ю­щих дей­ствий:

—  умно­жить число на 4;

—  при­ба­вить к числу 12;

—  если число не равно 9, то вы­черк­нуть из числа цифру 9.

Затем каж­дый из уче­ни­ков за­пи­сы­ва­ет новое число на доску.

а)  Можно ли за не­сколь­ко дей­ствий по­лу­чить из числа 47 число 2?

б)  Можно ли за не­сколь­ко дей­ствий по­лу­чить из числа 7 число 77?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, мень­ших 2015, может быть за­пи­са­но на доске, если N  =  3.