Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Шесть раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два из них не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а)  Может ли сумма этих чисел быть рав­ной 39?

б)  Может ли сумма этих чисел быть рав­ной 34?

в)  Ка­ко­ва их ми­ни­маль­ная сумма?

а)  Да, может:

б)  Среди дан­ных чисел не боль­ше од­но­го чётного, иначе чётные числа будут иметь общий де­ли­тель, рав­ный 2.

Если чётное число среди них ровно одно, то сумма всех шести чисел нечётна, и, тем самым, не равна 34.

ле­до­ва­тель­но, все шесть чисел долж­ны быть нечётны. Найдём сумму пер­вых шести нечётных чисел, не име­ю­щих общих де­ли­те­лей:

Это число боль­ше 34, тем самым, сумма не может быть равна 34.

в)  Сумма пер­вых пяти нечётных чисел равна  Сле­до­ва­тель­но, мень­ше  сумма шести вза­им­но про­стых чисел быть не может. Но числа 3 и 9 имеют общий де­ли­тель 3, по­это­му ис­ко­мая сумма не равна 27.

Чтобы по­лу­чить 28, не­об­хо­ди­мо либо скла­ды­вать чётное число чётных чисел, либо все шесть чисел долж­ны быть нечётными. Пер­вое не­воз­мож­но, по­сколь­ку в на­бо­ре не более од­но­го чётного числа. Вто­рое не­воз­мож­но, по­сколь­ку сумма пер­вых шести нечётных чисел равна 36.

Числа 1, 2, 3, 5, 7 и 11 вза­им­но про­сты и в сумме дают 29. Это и есть ис­ко­мый набор.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  29.