Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 516054

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в) Какова их минимальная сумма?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, может: 1 + 2 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39.

б) Среди данных чисел не больше одного чётного, иначе чётные числа будут иметь общий делитель, равный 2.

Если чётное число среди них ровно одно, то сумма всех шести чисел нечётна, и, тем самым, не равна 34. Следовательно, все шесть чисел должны быть нечётны. Найдём сумму первых шести нечётных чисел, не имеющих общих делителей: 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 40. Это число больше 34, тем самым, сумма не может быть равна 34.

в) Сумма первых пяти нечётных чисел равна 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Следовательно, меньше 2 + 25 = 27 сумма шести взаимно простых чисел быть не может. Но числа 3 и 9 имеют общий делитель 3, поэтому искомая сумма не равна 27.

Чтобы получить 28 необходимо либо складывать чётное число чётных чисел, либо все шесть чисел должны быть нечётными. Первое невозможно, поскольку в наборе не более одного чётного числа. Второе невозможно, поскольку сумма первых шести нечётных чисел равна 36.

Числа 1, 2, 3, 5, 7 и 11 взаимно простые и в сумме дают 29. Это и есть искомый набор.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 29.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
Классификатор алгебры: Числа и их свойства