Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Дана ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не мень­ше 80 и не боль­ше 170. Каж­дое сле­ду­ю­щее число либо де­лит­ся на преды­ду­щее, либо мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Числа в по­сле­до­ва­тель­но­сти могут по­вто­рять­ся.

а)  Может ли быть 40 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Может ли быть 80 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел по­сле­до­ва­тель­но­сти.

а)  Да. На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 170, 168, 166, ..., 96, 94, 92.

б)  Да. На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность

в)  В про­ме­жут­ке [80; 170] всего 91 число. За­ме­тим, что Сле­до­ва­тель­но, усло­вие «каж­дое сле­ду­ю­щее число де­лит­ся на преды­ду­щее» рав­но­силь­но усло­вию «каж­дое сле­ду­ю­щее число вдвое боль­ше преды­ду­ще­го».

Если на­чать по­сле­до­ва­тель­ность с чет­но­го числа, то не­чет­ное из него по­лу­чить не­воз­мож­но. Нач­нем по­сле­до­ва­тель­ность с вы­пи­сы­ва­ния всех до­ступ­ных не­чет­ных чисел. Наи­мень­шее не­чет­ное число 81 уве­ли­чим вдвое и про­дол­жим по­сле­до­ва­тель­ность чет­ны­ми чис­ла­ми. По­явив­ше­е­ся число 84 тоже уве­ли­чим вдвое, чтобы до­ба­вить в по­сле­до­ва­тель­ность не­до­ста­ю­щие чет­ные числа:

Не­труд­но за­ме­тить, что из всех до­ступ­ных чисел в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти нет толь­ко числа 170, то есть в по­ка­зан­ном при­ме­ре 90 раз­лич­ных чисел.

После по­яв­ле­ния числа 170 в по­сле­до­ва­тель­но­сти в ней уже не будет не­чет­ных чисел. Число 170 можно по­лу­чить из числа 85, по­это­му при вклю­че­нии числа 170 в по­сле­до­ва­тель­ность в ней обя­за­тель­но будут от­сут­ство­вать числа 83 и 81. Сле­до­ва­тель­но, в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти может быть не более 89 чисел.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  90.