В тре­уголь­ни­ке ABC AD  — бис­сек­три­са, угол C равен 54°, угол CAD равен 30°. Най­ди­те угол B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те длину век­то­ра

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ко­ну­са равен 25. Най­ди­те объём ци­лин­дра.

На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ник дол­жен от­ве­тить на один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Три­го­но­мет­рия», равна 0,12. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

В ко­роб­ке 4 синих, 3 крас­ных и 9 зелёных фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­стер?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния если и

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции на от­рез­ке

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му где P  — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в ват­тах),   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T  — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти не-ко­то­рой звез­ды равна м², а мощ­ность её из­лу­че­ния равна Вт. Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в кель­ви­нах.

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 60% меди, вто­рой  — 10% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 90 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 20% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [3π; 4π].

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ точка K  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁. Плос­кость α про­хо­дит через точки A, K и C.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти се­че­ния, если все ребра приз­мы равны 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в раз­ме­ре 6,6 млн. руб. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года.

  — с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

  — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг оста­ет­ся рав­ным 6,6 млн. руб.

  — суммы вы­плат 2020 и 2021 годов равны.

Най­ди­те r, если в 2021 году долг будет вы­пла­чен пол­но­стью и общие вы­пла­ты со­ста­вят 12,6 млн. руб­лей.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AC и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Точка K лежит на ка­те­те BC так, что BK : KC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что AN  =  2KM.

б)  Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AN и KM. Най­ди­те длину от­рез­ка пря­мой BP, за­клю­чен­но­го внут­ри тре­уголь­ни­ка KMN, если AB  =  6, BC  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом их ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно одно ре­ше­ние.

а)  Можно ли пред­ста­вить число 2043 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

б)  Можно ли пред­ста­вить число 599 в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы семи раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр ко­то­рых оди­на­ко­ва.