В тре­уголь­ни­ке ABC AC  =  BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 163°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 50. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся А. верно решит боль­ше 9 задач, равна 0,63. Ве­ро­ят­ность того, что А. верно решит боль­ше 8 задач, равна 0,75. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. верно решит ровно 9 задач.

Иг­раль­ную кость бро­си­ли два раза. Из­вест­но, что шесть очков не вы­па­ли ни разу. Най­ди­те при этом усло­вии ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков ока­жет­ся равна 8».

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 8). Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции f(x).

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/ч ² . Ско­рость вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь. Най­ди­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 1,1 ки­ло­мет­ра, при­об­ре­сти ско­рость 110 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч² .

Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 140⁠-⁠ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 4 км/ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 4 часа рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что и Через точки B₁ и D па­рал­лель­но пря­мой AC про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро CC₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вадим яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t  еди­ниц то­ва­ра. За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Вадим пла­тит ра­бо­че­му 200 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 300 руб­лей. Вадим готов вы­де­лять 1 200 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, до сто­ро­ны BC, если и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

Дан набор цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9. Из него вы­би­ра­ют три раз­лич­ные цифры и со­став­ля­ют трёхзнач­ное число A. Из остав­ших­ся четырёх цифр со­став­ля­ют че­ты­рех­знач­ное число B. Из­вест­но, что число A крат­но 45 и число B крат­но 45.

а)  Может ли сумма чисел A + B быть равна 2205?

б)  Может ли сумма чисел A + B быть равна 3435?

в)  Чему равна наи­боль­шая воз­мож­ная сумма чисел A + B?