В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AC и BC равны, угол C равен 120°, угол CBD  — внеш­ний. Най­ди­те внеш­ний угол CBD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 30. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся А. верно решит боль­ше 4 задач, равна 0,76. Ве­ро­ят­ность того, что А. верно решит боль­ше 3 задач, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. верно решит ровно 4 за­да­чи.

Иг­раль­ную кость бро­си­ли два раза. Из­вест­но, что три очка не вы­па­ли ни разу. Най­ди­те при этом усло­вии ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков ока­жет­ся равна 10».

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 8). В какой точке от­рез­ка [−2; 3] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/ч ² . Ско­рость вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь. Най­ди­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 0,8 ки­ло­мет­ра, при­об­ре­сти ско­рость 120 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч² .

Два ав­то­мо­би­ля от­прав­ля­ют­ся в 420-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый едет со ско­ро­стью на 10 км/ч боль­шей, чем вто­рой, и при­бы­ва­ет к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость ав­то­мо­би­ля, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B₁ и D, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AA₁ и CC₁ в точ­ках M и K со­от­вет­ствен­но, а се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся ром­бом.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь ос­но­ва­ния равна 3, а пло­щадь се­че­ния равна 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вадим яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t  еди­ниц то­ва­ра. За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Вадим пла­тит ра­бо­че­му 200 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 300 руб­лей. Вадим готов вы­де­лять 1 200 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что ∠AHB₁ = ∠ACB.

б)  Най­ди­те BC, если и ∠BAC  =  60°.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

Дан набор цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9. Из него вы­би­ра­ют три раз­лич­ные цифры и со­став­ля­ют трёхзнач­ное число A. Из остав­ших­ся четырёх цифр со­став­ля­ют че­ты­рех­знач­ное число B. Из­вест­но, что число A крат­но 45 и число B крат­но 45.

а)  Может ли сумма чисел A + B быть равна 2205?

б)  Может ли сумма чисел A + B быть равна 3435?

в)  Чему равна наи­боль­шая воз­мож­ная сумма чисел A + B?