В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.
а) Из условия следует, что отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, а потому 
и 
Следовательно,
Таким образом, 
то есть треугольники ABN и MNK — прямоугольные, катеты которых пропорциональны с коэффициентом 2. Такие треугольники подобны, тогда 
откуда 
б) Продлим прямые AB и MK до пересечения в точке S, отрезок PL — искомый (см. рис.). Из доказанного в пункте а) находим 
Углы BKS и MKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники BKS и MKN равны по катету и острому углу, откуда 
Из прямоугольного треугольника ABN по теореме Пифагора находим 
Углы APS и MPN равны как вертикальные, углы BSK и KMN равны как соответствующие элементы равных треугольников, поэтому треугольники APS и NPM подобны, то есть
Отсюда 
Применим теорему косинусов для треугольника ABP:
Углы APB и NPL равны как вертикальные, углы ABP и NLP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и MN секущей BL, следовательно, треугольники ABP и NLP подобны по двум углам. Таким образом, 
откуда
Ответ: 
-------------
Дублирует задание № 697424.Спрятать критерии