В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AC и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Точка K лежит на ка­те­те BC так, что BK : KC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что AN  =  2KM.

б)  Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AN и KM. Най­ди­те длину от­рез­ка пря­мой BP, за­клю­чен­но­го внут­ри тре­уголь­ни­ка KMN, если AB  =  10, BC  =  16.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AC и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Точка K лежит на ка­те­те BC так, что BK : KC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что AN  =  2KM.

б)  Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AN и KM. Най­ди­те длину от­рез­ка пря­мой BP, за­клю­чен­но­го внут­ри тре­уголь­ни­ка KMN, если AB  =  6, BC  =  8.

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся ка­те­тов AC, BC и ги­по­те­ну­зы AB в точ­ках M, E и K со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок EH  — пер­пен­ди­ку­ляр из точки E на пря­мую MK.

а)  До­ка­жи­те, что EK ∥ CH.

б)  Из­вест­но, что AC  =  15, BC  =  8. Найти от­но­ше­ние CH к EK.

В рав­но­бед­рен­ном ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AH и CT к бо­ко­вым сто­ро­нам BC и AB. Из точки H про­ве­де­ны вы­со­ты HK и HM на сто­ро­ны AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую CT в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что EH ∥ AB.

б)  Най­ди­те HE, если из­вест­но, что AB  =  13 и AC  =  10.

В рав­но­бед­рен­ном ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AH и CT к бо­ко­вым сто­ро­нам BC и AB. Из точки H про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM на сто­ро­ны AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую CT в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые EH и AB па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те ME, если из­вест­но, что AB  =  17 и AC  =  16.

В рав­но­бед­рен­ном ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AH и CT к бо­ко­вым сто­ро­нам BC и AB. Из точки H про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM на сто­ро­ны AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую CT в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что EH ∥ AB.

б)  Най­ди­те ME, если из­вест­но, что AB  =  5 и AC  =  6.

Окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и его вы­со­ты CH.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если BO  =  1 и AC  =  6.

Окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а также его вы­со­ты CH.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если BO  =  7, AC  =  16.