PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.
Решение. а) Из условия следует, что отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, а потому
и 
Следовательно,
Таким образом, 
то есть треугольники ABN и MNK — прямоугольные, катеты которых пропорциональны с коэффициентом 2. Такие треугольники подобны, тогда 
откуда 
б) Продлим прямые AB и MK до пересечения в точке S, отрезок PL — искомый (см. рис.). Из доказанного в пункте а) находим 
Углы BKS и MKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники BKS и MKN равны по катету и острому углу, откуда 
Из прямоугольного треугольника ABN по теореме Пифагора находим 
Углы APS и MPN равны как вертикальные, углы BSK и KMN равны как соответствующие элементы равных треугольников, поэтому треугольники APS и NPM подобны, то есть
Отсюда 
Применим теорему косинусов для треугольника ABP:
Углы APB и NPL равны как вертикальные, углы ABP и NLP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и MN секущей BL, следовательно, треугольники ABP и NLP подобны по двум углам. Таким образом, 
откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |