PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.
Решение. а) В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AD параллельна стороне BC. Отрезок MK — средняя линия треугольника ASD, параллельная стороне AD. Следовательно, прямые BC и MK параллельны.
б) Пусть точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, а точка H — точка пересечения диагоналей параллелограмма BAFO, тогда точка H — середина диагонали AO. Следовательно, отрезок MH — средняя линия треугольника SOA, параллельная стороне SO, то есть отрезок MH — высота пирамиды MABF. Центр O описанной около треугольника BFC окружности лежит на его стороне FC, поэтому 
Таким образом, прямая BC перпендикулярна прямым MH и BF соответственно, а потому прямая BC перпендикулярна плоскости BMF. Плоскость основания пирамиды SABCDEF пересекается с плоскостью BMC по прямой BC, поэтому 
Следовательно,
Площадь треугольника ABF равна
Таким образом, объём пирамиды MABF равен
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |