В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.
а) В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AD параллельна стороне BC. Отрезок MK — средняя линия треугольника ASD, параллельная стороне AD. Следовательно, прямые BC и MK параллельны.
б) Пусть точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, а точка H — точка пересечения диагоналей параллелограмма BAFO, тогда точка H — середина диагонали AO. Следовательно, отрезок MH — средняя линия треугольника SOA, параллельная стороне SO, то есть отрезок MH — высота пирамиды MABF. Центр O описанной около треугольника BFC окружности лежит на его стороне FC, поэтому 
Таким образом, прямая BC перпендикулярна прямым MH и BF соответственно, а потому прямая BC перпендикулярна плоскости BMF. Плоскость основания пирамиды SABCDEF пересекается с плоскостью BMC по прямой BC, поэтому 
Следовательно,
Площадь треугольника ABF равна
Таким образом, объём пирамиды MABF равен
Ответ: 