PDF-версии: 
Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму S.
а) Может ли быть 
?
б) Может ли быть 
?
в) Найдите наибольшее целое S, если все четыре числа лежат в отрезке от 400 до 999 включительно.
Решение. а) Да. Например,
б) Нет. Допустим, это возможно. Сразу заметим, что для любого n-значного числа результат деления на первую цифру не меньше 
и не больше 
поэтому среди наших чисел нет четырехзначных, но есть трехзначные. Поскольку знаменатель 72 может появиться только при сложении дробей со знаменателями 8 и 9, эти четыре числа имеют среди своих первых цифр и 8, и 9, поэтому среди них точно есть 899 и 900. Тогда максимально возможная сумма составит
в) Если все эти числа начинаются с одной и той же цифры x, то сумма равна
что не может быть целым при x = 4. Кроме того, сумма числителей не превосходит
значит, сумма не превосходит
Этот ответ достигается для чисел 596, 597, 598, 599. Если же первые цифры могут быть различными, то одно из чисел кратно 100, поэтому результат деления его на первую цифру это 100. Любой другой результат не превосходит
поэтому сумма четырех результатов не превосходит 
Ответ: а) да; б) нет; в) 478.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в. | 3 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен. | 2 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
хотя бы для одного из чисел цифрой, на которую делят число, должна быть 8, причём, это число должно быть нечетным. Наименьшим из таких чисел является число 81, но тогда полученная сумма будет больше чем 
значит, полученная сумма не может равняться 9,125.
Рассмотрим случай, когда все исходные числа делятся на 1. Наибольшие четыре последовательных числа, содержащие в записи цифру 1, это — 616, 617, 618 и 619. Вычисленная для них сумма будет равна 
что больше 2446,5. Значит, наибольшее целое значение, которое может принимать полученная сумма равно 2470.
поэтому одно из слагаемых должно иметь знаменатель 8. Значит, одно из чисел должно содержать восьмерку, причем не на последнем месте (иначе число будет четным, дробь сократится на 2 и знаменателя 8 не получится). Тогда оно не меньше 80. Но тогда уже для него дробь будет не меньше 
а остальные дроби не меньше единицы, поэтому сумма их будет не меньше 
и общая сумма не превосходит 
и не может равняться 280.
что не подходит, либо числа, дающие разные остатки, должны чередоваться (...1, 3, 1, 3... или ... 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...) так, чтобы в каждых четырех идущих подряд числах было по два числа, дающих разные остатки, но тогда их поровну, и число N четное. Значит, N не может равняться 149. 
Приведём пример для 
камня не попадут в четвертую коробку, что дает оценку 
камня.
камня.
и 
нужного остатка не дают). Тогда в третьей коробке не более 
камней. Столько камней собрать можно так 
где a, b и c — цифры, 
Тогда сумма цифр такого числа равна 
а в результате операции из него получится число 
и 
где a, b, x, y — цифры и 
В результате операции из них получатся числа 
и 
соответственно. Разность этих чисел равна 
Если 
то эта разность не может быть равной нулю, поскольку 
Если 
то разность может быть равной нулю только при 
то есть если исходные числа совпадают. Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.
где a, b и c — цифры и 
и 
а 19 делится на 
это невозможно.
значит, все разности имеют вид 2n при 
Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.
и 
а 29 делится на 
это невозможно.
значит, все разности имеют вид 
при 
Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 53 числа.
ни одно из написанных чисел не делится на 
Если на доске есть число 
то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на a, но тогда их разность делится на a. Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 9. Среди любых 
различных чисел от 10 до 27 найдётся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, 
и 
откуда 
Значит, 
откуда 
то есть 
Аналогично 
откуда 
и 
и 
При этом 
поэтому 
или 
Итак, наименьшее возможное k это 128.
В первой группе будут 11 камней, все они весят по 128г, тогда 
Во второй группе будут 13 камней, все они весят по 108 граммов, следовательно, 
и 
следовательно, 
Значит, 
то есть 
Аналогично 
то есть 
и 
При этом 
или 
Итак, наименьшее возможное k это 122.
В первой группе будут 14 камней, все они весят по 122 г, значит, 
Во второй группе будут 16 камней, 8 из них весят по 106 г, остальные 8 по 107 г, следовательно, 
где x целое, то их сумма равна 
где n — количество чисел. При этом xn целое, а 
— 
не кратно 25 при 
На роль таких чисел подходят, например, 