Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение. а) Да, может. Например, 410 : (4 + 1 + 0) = 82.
Рассмотрим трёхзначное число 
Имеем:
Полученному равенству удовлетворяют цифры x = 4, y = 1, z = 0.
б) Предположим, что для трёхзначного числа 
выполнено равенство
то есть 17x = 73y + 82z.
Самая большая цифра — это 9, поэтому
Отсюда видно, что возможны лишь два случая: z = 0 или z = 1.
1. Если z = 0, то из (5) получаем 17x = 73y. Значит, 17x делится на простое число 73. Однако
ни 17, ни x (будучи цифрой) на 73 не делятся. Противоречие.
2. Если z = 1, то из (5) получаем 17x = 73y + 82, что не превосходит 153. Значит, y = 0
или y = 1. В этих случаях имеем соответственно 17x = 82 и 17x = 155; оба равенства
невозможны, так как их правые части не делятся на 17.
Полученные противоречия показывают, что при делении трёхзначного числа на сумму его
цифр не может получиться 83.
в) Пусть снова x, y, z — цифры. Ищем наибольшее натуральное n, такое, что
Перепишем это равенство следующим образом:
и так как x не превосходит 9, получим:
Отсюда
По условию наше трёхзначное число не делится на 100, то есть y и z не равны нулю одновременно; иными словами, выполнено неравенство 
Тогда для правой части неравенства имеем:
Итак, справедлива оценка 
Равенство имеет место для числа 910:
Этот пример найти нетрудно: при x = 9, y = 1 и z = 0 все неравенства в и превращаются в равенства.
Итак, максимальное натуральное число, которое может получиться при делении трёхзначного числа на сумму его цифр, равно 91.
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
----------
Дублирует задание 502058.