PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Решение. а) Пусть угол BAC = α. Углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM: в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°, следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KMB — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Сумма углов К и М четырехугольника BKHM равна 180°, поэтому он вписан в окружность. Прямоугольный треугольник BKH вписан в эту же окружность, а потому радиус R окружности равен половине гипотенузы BH: R = 1. Треугольник MBK также вписан в эту окружность. Коэффициент подобия треугольников ABC и MBK равен отношению их сходственных элементов, поэтому он равен 
Тогда для отношения площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC получаем:
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Из прямоугольного треугольника BKH находим, что 
Для треугольника ABC справедливо равенство 
Учитывая, что ∠KHB = ∠BAC, получаем: 
Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |