Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 510851

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть угол BAC = α. Углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM: в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°, следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KMB — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.

б) Из прямоугольного треугольника BKH находим, что BH= дробь: числитель: BK, знаменатель: синус \angle KHB конец дроби . Для треугольника ABC справедливо равенство 2R= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle BAC конец дроби . Учитывая, что ∠KHB = ∠BAC, получаем:  дробь: числитель: BC, знаменатель: BK конец дроби = дробь: числитель: 2R, знаменатель: BH конец дроби . Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия k= дробь: числитель: BC, знаменатель: BK конец дроби = дробь: числитель: 2R, знаменатель: BH конец дроби =4. Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

 дробь: числитель: S_MBK, знаменатель: S_AKMC конец дроби = дробь: числитель: S_MBK, знаменатель: S_ABC минус S_MBK конец дроби = дробь: числитель: S_MBK, знаменатель: k в квадрате S_MBK минус S_MBK конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: k в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 1., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014