РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 514730 Добавить в вариант

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Планиметрическая задача. Треугольники и их свойства

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N  — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а)  Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Решение. а)  Прямая ML параллельна прямой AC, поскольку содержит среднюю линию треугольника ABC (см. рис.). Следовательно,

$\angle ALM = \angle LAC = \angle LAM.$

Таким образом,

$LM = AM = BM = CM,$

то есть точки A, B, C и L лежат на окружности с центром в точке M. Получаем:

$\angle LBC = \angle LAC = \angle LAB = \angle LCB,$

а значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам.

б)  Углы ALB и ACB опираются на одну дугу, значит, $\angle ALB = 90 градусов.$ Коэффициент подобия треугольников BLC и AML равен

$дробь: числитель: LB, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 2LB, знаменатель: AB конец дроби = 2 синус \angle LAB.$

По условию

$косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби ,$

откуда

$1 минус 2 синус в квадрате \angle BAL = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби равносильно синус в квадрате \angle BAL = дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби равносильно синус \angle BAL = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Значит, $дробь: числитель: AM, знаменатель: LB конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби$ и площади треугольников AML и BLC относятся как $дробь: числитель: 25, знаменатель: 36 конец дроби .$

Ответ: б) 25 : 36.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 25 : 36.

514730

б) 25 : 36.

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514730	б) 25 : 36.